หารร่วมมาก (ห.ร.ม) คูณร่วมน้อย (ค.ร.น)

หารร่วมมาก (ห.ร.ม) คูณร่วมน้อย (ค.ร.น)

จากเนื้อหา “ตัวประกอบและจำนวนเฉพาะ ซึ่งเป็นเนื้อหาพื้นฐานเพื่อนำไปสู่เนื้อหาถัดไปในเรื่อง หารร่วมมาก (ห.ร.ม) และ คูณร่วมน้อย (ค.ร.น)  มาเริ่มการเรียนรู้กับครูออนไลน์กันเลยค่ะ

หารร่วมมาก (ห.ร.ม)  คือ จำนวนเต็ม “ที่มากที่สุด” ที่สามารถนําไปหารจำนวนตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปพร้อมกันได้ลงตัวทั้งหมด

คูณร่วมน้อย (ค.ร.น) คือ จำนวนเต็ม “ที่น้อยที่สุด” ที่สามารหารด้วยจำนวนตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปได้ลงตัวทั้งหมด

วิธีการหา ห.ร.ม และ ค.ร.น มีทั้งหมด 3 วิธี ได้แก่ “การแยกตัวประกอบ”, “การหารสั้น” และการหาร ห.ร.ม ด้วยวิธี “ยูคลิด” (สำหรับ ห.ร.ม เท่านั้น)

—————————-

1. การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม และ ค.ร.น ของ  12  18  24

วิธีทำ

ตัวประกอบของ 12 ได้แก่ 2 × 2 × 3

ตัวประกอบของ 18 ได้แก่ 2 × 3 × 3

ตัวประกอบของ 24 ได้แก่ 2 × 2 × 2 × 3

ห.ร.ม ของ 12  18  24  ได้แก่ จำนวนเฉพาะที่เหมือนกันทั้งหมดของทั้ง 3 จำนวน ดังแสดงด้านล่าง

12 =  2 × 2 × 3

18 =  2 × 3 × 3

24 =  2 × 2 × 2 × 3

จำนวนเฉพาะที่เหมือนกันของทั้ง 3 จำนวน 2 และ 3 ดังนั้น ห.ร.ม ของ 12  18  24 = 2 × 3  = 6

ค.ร.น ของ 12  18  24  ได้แก่ จำนวนเฉพาะที่เหมือนกันบางส่วนของทั้ง 3 จำนวน ดังแสดงด้านล่าง

12 =  2 × 2 × 3

18 =  2 × 3 × 3

24 =  2 × 2 × 2 × 3

เหมือนกันทั้งหมด ได้แก่ 2 และ 3

เหมือนกันสองคู่ ได้แก่ 2

ไม่เหมือนกันเลย ได้แก่ 3 และ 2

(สังเกตจากสีของตัวเลข)

ดั้งนั้น ค.ร.น ของ 12  18  24 = 2 × 3 × 2 × 3 × 2 = 72

————————————————

2. การหารสั้น

สำหรับการหา ห.ร.ม ด้วยวิธีการหารสั้น มีหลักที่แตกต่างจากการการ ค.ร.น อยู่ตรงที่

สำหรับ ห.ร.ม : จำนวนเฉพาะที่จะนำมาเป็นตัวหารจะต้องสามารถหารทุกจำนวนลงตัว หากไม่สามารถมีจำนวนเฉพาะใดๆที่หารได้แล้ว การหารสั้นนั้นจะหยุดทันที และ ห.ร.ม ที่ได้จะเกิดจากการนำ ตัวหารทุกจำนวนมาคูณกัน

สำหรับ ค.ร.น : จำนวนเฉพาะที่จะนำมาเป็นตัวหารต้องสามารถหารจำนวนเต็มได้ลงตัวอย่างน้อยสองจำนวนขึ้นไป  หารไปเรื่อยๆจนไม่สามารถมีจำนวนเฉพาะใดๆที่หารจำนวนทั้งหมดได้แล้ว การหารสั้นนั้นจะหยุดทันที และ ค.ร.น ที่ได้จะเกิดจากการนำตัวหารทุกจำนวนและเศษทุกจำนวนมาคูณกัน

ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม และ ค.ร.น ของ  12  18  24

วิธีหา ห.ร.ม

ตอบ ห.ร.ม = 2 × 3 = 6

วิธีหา ค.ร.น

ตอบ  ค.ร.น = 2 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 = 72

————————————————

3. การหา ห.ร.ม แบบวิธียูคลิด

สำหรับการหา ห.ร.ม ด้วยวิธียูคลิด จะใช้ในกรณีที่ต้องการหา ห.ร.ม สำหรับตัวเลขเยอะๆ เช่น

จงหา ห.ร.ม ของ 1500 และ 2050

ขั้นตอนที่ 1 หาเศษที่ได้จากการหาร โดยการนำตัวเลขที่มีค่าน้อยหารตัวเลขที่มีค่ามาก ในที่นี้คือ 2050 ÷ 1500 ได้เศษ 550 ดังนี้

ขั้นตอนที่ 2 นำเศษที่ได้จากการหารรอบแรก “มาหาร” ตัวหารตัวแรก ซึ่งก็คือ

  • เศษที่ได้จากการหารรอบแรก คือ 550
  • ตัวหารตัวแรก คือ 1500

จะได้ว่า 1500  ÷  550 ได้เศษ 400 ดังนี้

ขั้นตอนที่ 3 ทำเช่นขั้นตอนที่ 2 โดยนำเศษที่ได้จากการหารรอบก่อนหน้า “มาหาร” ตัวหารก่อนหน้า ซึ่งก็คือ

  • เศษที่ได้จากการหารในชั้นตอนที่ 2 คือ 400
  • ตัวหารก่อนหน้า คือ 550

จะได้ว่า คือ 550  ÷  400 ได้เศษ 400 ดังนี้

ขั้นตอนที่ 4  นำเศษที่ได้จากการหารในที่นี้คือ 150 มาหารตัวหารคือ 400 ดังนี้ 400  ÷ 150 ได้เศษ 100

ขั้นตอนที่ 5  นำ 100 มาหาร 150 ดังนี้ 150  ÷ 100 ได้เศษ 50

ขั้นตอนที่ 6  นำ 50 มาหาร 100 ดังนี้ 100  ÷ 50 ได้เศษ 0

ให้ทำการหารไปเรื่อยๆจนได้เศษ = 0 หรือหารลงตัวนั้นเอง ตัวหารสุดท้ายที่ได้ คือคำตอบของ ห.ร.ม ดังตัวอย่างที่กล่าวมา

คำตอบ ห.ร.ม ของ 1500 และ 2050 = 50

** เพื่อให้เข้าใจง่ายในวิธียูคลิด ให้สังเกตจากสีตัวเลขจะทำให้เชื่อมโยงและเข้าใจได้มากขึ้น**

————————————————–

เนื้อหาเพิ่มเติม : การหารลงตัว และ การหารเหลือเศษ

หารลงตัว คือการหารแล้วไม่เหลือเศษ หรือ เศษเป็น 0

เช่น              12 หาร ด้วย 4 ลงตัว

หรือ             เอา 5 ไปหาร 25 ลงตัว

หารไม่ลงตัว คือการหารแล้วเหลือเศษ

เช่น              13 ÷  4  = 3 เศษ 1 ดังนั้น   13 = (4 × 3) + 1

หากไปเจอโจทย์ที่หารไม่ลงตัว ถ้าอยากให้หารลงตัว เราจะทำได้สองแบบโดย

วิธีที่ 1 ตัดเศษ 1 ทิ้งไป จะได้ 13 – 1 = 12 จะหาร 4 ลงตัว
วิธีที่ 2 หาจำนวนมาเพิ่มจากเศษ ให้พอดีกับตัวหาร คือ มีเศษ 1 ต้องการเพิ่มอีก 3 จะได้ครบ 4       ดังนั้น 13 + 3 = 16 จะหาร 4 ลงตัว

ความรู้ในส่วนนี้เราจะใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาประเภทต่างๆดังนี้

การวิเคราะห์โจทย์ปัญหา ห.ร.ม และ ค.ร.น

ตัวอย่างที่ 1

โดนัท 9 ชิ้น ขนมปัง 12 ชิ้น เค้ก 6 ชิ้น ถ้าแบ่งใส่จาน จานละเท่ากันโดยไม่ให้ปนกัน จะแบ่งได้จานละกี่ชิ้น และได้กี่จาน

คิดว่าข้อนี้ต้องใช่วิธี ค.ร.น หรือ ห.ร.ม ในการแก้ปัญหา ???

ลองมาวิเคราะห์โจทย์กัน

สำหรับโจทย์ข้อนี้มีจำนวนขนมแต่ละประเภทที่ไม่เท่ากันมาเป็นจำนวนรวมๆ และต้องการแบ่งใส่จาน

ให้สังเกตว่า เมื่อเกิดเหตุการณ์ที่มี “การแบ่ง” เกิดขึ้นจำนวนสิ่งของจะต้องลดน้อยลงไป (แต่ห้ามจำเด็ดขาดว่า แบ่งคือหาร ไม่ได้เลยๆๆๆ)

ให้นึกถึงหลักความเป็นจริงว่าเมื่อเราต้องแบ่งของให้ใคร ของที่อยู่กับเราจะน้อยลงไป เมื่อของน้อยลงไป นั้นคือการหาร เมื่อเป็นการหารก็คือ การหาแบบ ห.ร.ม นั้นเอง

ตัวอย่างที่ 2 

นายเอและนายบี เริ่มออกวิ่งที่จุดเริ่มต้นเดียวกันรอบสระน้ำวงกลม นายเอวิ่งครบหนึ่งรอบใช้เวลา 3 นาที นายบีวิ่งครบหนึ่งรอบใช้เวลา 5 นาที ถ้าทั้งสองคนออกวิ่งในเวลาเดียวกัน อีกกี่นาทีข้างน้องนายเอและนายบีจะมาพบกันที่จุดเริ่มต้นอีกครั้ง

คิดว่าข้อนี้ต้องใช่วิธี ค.ร.น หรือ ห.ร.ม ในการแก้ปัญหา ???

ลองมาวิเคราะห์โจทย์กัน โดยมองตามหลักความเป็นจริงที่ว่า 

– นายเอจะวิ่งครบหนึ่งรอบเมื่อเวลาผ่านไป 3 นาที และรอบที่สองจะครบเมื่อเวลาผ่านไป 6 นาที ไปเรื่อยๆ

– นายบีจะวิ่งครบหนึ่งรอบเมื่อเวลาผ่านไป 5 นาที และรอบที่สองจะครบเมื่อเวลาผ่านไป 10 นาที ไปเรื่อยๆ

แต่ละคนจะวิ่งมาถึงจุดเริ่มต้นด้วยเวลาดังนี้

นายเอ จะมาถึงจุดเริ่มต้นอีกครั้งในนาทีที่    3     6     9     12     15     …..

นายบี จะมาถึงจุดเริ่มต้นอีกครั้งในนาทีที่     5    10    15    20    25    ……

จะเห็นได้ว่า

ลักษณะการดำเนินไปของตัวเลขจะเป็นแบบเพิ่มขึ้นไปเรื่อยๆเป็นเท่าตัวของจำนวนเดิมซึ่งก็คือการคูณ” ดังนั้นโจทย์ข้อนี้ต้องใช้วิธีการหาคำตอบด้วยวิธี ค.ร.น

สรุป 

ตัวอย่างโจทย์ประเภท ห.ร.ม จะมีลักษณะดังนี้

  • เรื่องที่เกี่ยวกับการแบ่งของหลายอย่างออกเป็นกองให้เท่าๆกัน
  • มีเลขตัวตั้งมาหลายจำนวน แล้วหาจำนวนที่น้อยที่สุดมาเป็นตัวหารโดยให้หารทั้งหมดลงตัว หรือให้เหลือเศษตามเงื่อนไข
  • การแบ่งพื้นที่ กว้าง x ยาว ออกให้เป็น 4 เหลี่ยมจัตุรัส (ด้านกว้างเท่ากับด้านยาว)

ตัวอย่างโจทย์ประเภท ค.ร.น จะมีลักษณะดังนี้

  • มีเลขมาหลายจำนวน ให้หาตัวตั้งที่เลขทั้งหมดสามารถเอาไปหารเลขตัวตั้งได้ลงตัว หรือเหลือเศษตามเงื่อนไขที่กำหนดให้
  • มีของหลายอย่างซึ่งแต่ละอย่างมีการใช้ไม่เท่ากัน แล้วถามว่าเมื่อไรจะเหลือเท่ากันหรือเมื่อไรจะพบเจอกันพอดี

————————————————–

ตัวอย่างโจทย์ประเภท ห.ร.ม

1.  มีนกอยู่ 3 ชนิด โดยแต่ละชนิดมีจำนวนไม่เท่ากันดังนี้ นกชนิดที่หนึ่งมีทั้งหมด 32 ตัว นกชนิดที่สองมีทั้งหมด 48 ตัว และนกชนิดที่สามทีทั้งหมด 64 ตัว ต้องการแบ่งนกให้เด็กๆโดยให้แต่ละคนได้นกมากที่สุดคนละเท่าๆกันและเด็กหนึ่งคนจะได้นกเพียงประเภทเดียวจะสามารถแบ่งนกให้เด็กๆได้กี่คน และคนละกี่ตัว

2. มีผลไม้ 3 ถุง ถุงแรกมีส้ม 24 ผล ถุงที่สองมีสาลี่ 60 ผล และถุงสามมี ลำไย 90 ผล ต้องจัดผลไม้ทั้งสาม ใส่ถาดให้มีจำนวนผลไม้แต่ละชนิดเท่ากัน จะจัดได้กี่ถาด

3. จำนวนนับที่มากที่สุดไปหาร 356, 851 และ 1481 แล้วเหลือเศษเท่ากัน อยากทราบว่าเศษนั้นมีค่าเท่าใด

4. มีลูกอมอยู่ 3 ชนิด คือ ไดนาไมค์ 120 เม็ด ฮอลล์ 150 เม็ด และ โอเล่ 75 เม็ด แบ่งใส่ถุงๆละเท่าๆ กัน โดยไม่ให้แต่ละชนิดปนกัน และไม่เหลือเศษ จะได้กี่ถุง

5. ลวดเส้นหนึ่งยาว 24 เมตร อีกเส้นหนึ่งยาว42เมตรนําลวดทั้งสองเส้นมาแบ่งเป็นท่อนๆให้ยาวเท่าๆกันโดยให้แต่ละท่อนยาวที่สุดจะแบ่งได้ทั้งหมดกี่ท่อน

6. มีโบว์สีแดงยาว 24 เมตร สีขาวยาว 36 เมตร สีเขียวยาว 72 เมตร ต้องการตัดเป็นเส้นเส้นละเท่าๆกันให้แต่ละเส้นมีขนาดยาวที่สุดและไม่ให้เหลือเศษเลย โบว์แต่ละเส้นจะยาวเท่าไร

7. ร้านเสื้อผ้าแห่งหนึ่ง มีเสื้อสีแดงทั้งหมด 120 ตัว เสื้อสีขาว 300 ตัว และเสื้อสีฟ้า 150 ตัว ร้านแห่งนี้ต้องการจัดเสื้อเข้าชุดเพื่อจำหน่ายเป็นชุดของขวัญโดยแต่ละกล่องมีจำนวนเสื้อเท่ากันและแต่ละกล่องจะมีเสื้อเพียงสีเดียวเท่านั้นเมื่อจัดเสร็จแล้วไม่ต้องการให้มีเศษเหลือ หากร้านค้าจัดจำหน่ายชุดของขวัญในราคากล่องละ 450 บาทเมื่อร้านค้าขายชุดของขวัญจนหมดทางร้านจะได้เงินทั้งหมดกี่บาท

ดูเฉลยในแต่ละข้อได้ที่นี้เลย  –> เฉลยโจทย์ ห.ร.ม

————————————————–

ตัวอย่างโจทย์ประเภท ค.ร.น

1. มะม่วงผลละ 8 บาท มะพร้าวผลละ 6 บาท และแตงโมผลละ 9 บาท ถ้าต้องจ่ายเงิน ซื้อผลไม้ ทุกชนิด ราคาเท่ากัน และจ่ายเงินน้อยที่สุด แล้วจะซื้อผลไม้ได้ทั้งหมดกี่ผล

2. บริษัทแห่งหนึ่งทำงาน 8 วันแล้วจะหยุดงาน 2 วัน ถ้าวันหยุด 2 วันนี้เป็นวัน เสาร์-อาทิตย์ อยากทราบว่าครั้งต่อไปที่พนักงานจะได้หยุดเป็นวันเสาร์-อาทิตย์อีกครั้งจะเป็นอีกกี่สัปดาห์ข้างหน้า

3. มีเด็กจำนวนน้อยที่สุดกี่คน เมื่อจัดเป็น 24 แถว หรือ 32 แถว หรือ 56 แถวแล้วจัดได้ลงตัวพอดี

4. นาฬิกา 3 เรือน แต่ละเรือนจะร้องเตือนเวลาดังนี้ เรื่อนที่ 1 จะร้องบอกเวลาทุกๆ 65 นาที เรือนที่ 2 จะร้องบอกเวลาทุกๆ 15 นาที และเรื่อนที่ 3 จะร้องบอกเวลาทุกๆ 39 นาที ถ้านาฬิกาทั้งสามร้องบอกเวลาพร้อมกันครั้งแรกเมื่อเวลา 15.35น. แล้ว นาฬิกาทั้งสามเรือนจะร้องบอกเวลาพร้อมกันอีกครั้งเมื่อเวลาใด

5. กระเบื้องปูพื้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แผ่นเล็กมีขนาดยาวด้านละ 20 เซนติเมตร แผ่นใหญ่มีขนาดยาวด้านละ 25 เซนติเมตร ถ้าใช้กระเบื้องทั้งสองขนาดนี้ปูพื้นให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้มีพื้นที่น้อยที่สุดจะต้องใช้กระเบื้องทั้งสองขนาดอย่างละกี่แผ่น

6. คุณพ่อติดไฟกระพริบ 2 ดวง ดวงแรกกระพริบทุกๆ 30 วินาที ดวงที่สองกระพริบทุกๆ 36 วินาที ถ้าไฟสองดวงกระพริบพร้อมกันครั้งแรกตอน 10.45 น. ถามว่าไฟทั้งสองจะกระพริบพร้อมกันครั้งที่ 10 ในเวลาใด

ดูเฉลยในแต่ละข้อได้ที่นี้เลย  –> เฉลยโจทย์ ค.ร.น

One Comment to “หารร่วมมาก (ห.ร.ม) คูณร่วมน้อย (ค.ร.น)”

Comments are closed.